Préparation au CRPE
10 novembre 2025
Ensembles de nombres et calculs
Entiers naturels et entiers relatifs
Les entiers naturels sont les nombres que nous utilisons pour dénombrer : \(0,\) \(1,\) \(2,\) \(3,\) etc. Ils sont notés par la lettre \(\NN\). Les entiers relatifs incluent les entiers naturels ainsi que leurs opposés négatifs, par exemple \(-3,\) \(-2,\) \(-1,\) etc. Ils sont notés par la lettre \(\ZZ\).
Mathématiquement, on écrit (\(\{\}\) désigne un ensemble et \(\subset\) l’inclusion) : \[ \NN = \{0, 1, 2, \dotsc\} \subset \ZZ = \{\dotsc, -2, -1, 0, 1, 2, \dotsc\}. \]
Exemple 1 Les nombres négatifs servent à représenter des quantités en dessous de zéro, comme les températures négatives ou les dettes. Par exemple, si l’on a un crédit de 50 euros et une dette de 75 euros, on peut représenter cela par l’entier relatif \(50 - 75 = -25\) euros. On a une dette de 25 euros.
Nombres rationnels
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire comme le quotient de deux entiers, c’est-à-dire sous la forme \(\frac{a}{b}\) où \(a\) et \(b\) sont des entiers et \(b\) est différent de zéro. Ils sont notés par la lettre \(\QQ\).
Remarque 1. Il est important de noter que tous les entiers relatifs sont aussi des nombres rationnels. Par exemple, l’entier \(3\) peut être écrit comme \(\frac{3}{1}\), ce qui est une forme rationnelle. On a donc l’inclusion suivante : \[ \NN \subset \ZZ \subset \QQ. \]
Remarque 2. Tous les nombres rationnels peuvent s’écrire sous la forme d’un nombre à virgule, avec éventuellement une infinité de chiffres après la virgule. Par exemple, \(1/3 = 0.3333\ldots\) (avec une infinité de \(3\) après la virgule) et \(-2/5 = -0.4\) (avec un seul chiffre après la virgule).
Fractions irréductibles
Une fraction \(a/b\) est dite irréductible si le numérateur \(a\) et le dénominateur \(b\) n’ont pas de diviseur commun positif autre que \(1\). Par exemple, \(\frac{3}{4}\) est une fraction irréductible, tandis que \(\frac{22}{6}\) ne l’est pas car \(22\) et \(4\) sont tous deux divisibles par \(2\).
Exemple 2 On aime écrire les nombres rationnels sous le forme de fractions irréductibles avec un dénominateur positif : \[ \frac{2}{-4}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}. \]
Autrement dit, une fraction \(\frac{a}{b}\) est irréductible si et seulement si le plus grand commun diviseur (PGCD) de \(a\) et \(b\) est égal à \(1\).
Nombres décimaux
Les nombres décimaux, notés \(\mathbb{D}\), sont des nombres rationnels qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de \(10\). Par exemple, \(0.75\) peut être écrit comme \(\frac{75}{100}\), ce qui est une fraction décimale.
Proposition 1 Les nombres déicimaux sont les nombres rationnels qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule. On a l’inclusion suivante : \[ \NN \subset \ZZ \subset \mathbb{D} \subset \QQ. \]
Exemple 3 Quelques exemples de nombres décimaux sont \(0.5\) (qui est \(1/2=5/10\)), \(2.75\) (qui vaut \(11/4\) ou \(275/100\)) et \(-3.14\) (qui est \(-314/100\)).
Irrationnels et réels
Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, c’est-à-dire qui ne peuvent pas s’écrire comme le quotient de deux entiers. Ces nombres sont appelés nombres irrationnels.
Exemple 4 Par exemple, la racine carrée de \(2\), notée \(\sqrt{2}\), est un nombre irrationnel. Tout comme \(\pi\), qui représente le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre.
Les nombres réels, notés \(\RR\), incluent à la fois les nombres rationnels et les nombres irrationnels. On a l’inclusion suivante : \[ \NN \subset \ZZ \subset \QQ \subset \mathbb{D} \subset \RR. \]
Interlude
Théorème 1 Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Preuve. Supposons par l’absurde que \(\sqrt{2}\) est rationnel. Alors, il existe deux entiers relatifs \(a\) et \(b\) (avec \(b \neq 0\)) tels que \(\sqrt{2} = a/b\). On peut supposer que la fraction \(a/b\) est irréductible. En particulier, le nombre \(2\) ne divise pas simultanément \(a\) et \(b\). En élevant les deux côtés de l’équation au carré, on obtient : \[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \implies a^2 = 2b^2. \] Cela signifie que \(a^2\) est un nombre pair, donc \(a\) doit aussi être un nombre pair (car le carré d’un nombre impair est impair). On peut donc écrire \(a = 2k\) pour un certain entier \(k\). En substituant cette expression dans l’équation précédente, on obtient : \[ (2k)^2 = 2b^2 \implies 4k^2 = 2b^2 \implies 2k^2 = b^2. \] Cela signifie que \(b^2\) est également un nombre pair, donc \(b\) doit aussi être un nombre pair. Ainsi, \(a\) et \(b\) sont tous deux pairs, ce qui contredit notre supposition initiale. Par conséquent, l’hypothèse que \(\sqrt{2}\) est rationnel est fausse. Donc, \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
Addition de deux fractions
Proposition 2 Pour additionner deux fractions, on utilise la formule suivante : \[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}. \]
En pratique, on réduit les deux fractions au même dénominateur (en réalisant un produit en croix) avant de les additionner. Il faut penser à simplifier la fraction obtenue.
Exemple 5 Par exemple, pour additionner \(\frac{2}{9}\) et \(\frac{2}{3}\), on calcule : \[ \frac{2}{9} + \frac{2}{3} = \frac{(2 \times 3) + (2 \times 9)}{9 \times 3} = \frac{6 + 18}{27} = \frac{24}{27} = \frac{8}{9}. \]
Multiplication de deux fractions
Proposition 3 Pour multiplier deux fractions, on utilise la formule suivante : \[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}. \]
En pratique, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Il faut penser à simplifier la fraction obtenue.
Exemple 6 Par exemple, pour multiplier \(\frac{-2}{3}\) et \(\frac{4}{-5}\), on calcule : \[ \frac{-2}{3} \times \frac{-4}{5} = \frac{(-2) \times (-4)}{3 \times 5} = \frac{8}{15}. \]
On a appliqué la règle des signes : le produit de deux nombres négatifs est positif.
Porportionalité
Grandeurs et mesures
e
Pourcentages
f
Fonctions linéaires
g
Fonctions affines
h
Généralités sur les fonctions
i
Produits en croix
j
Statistiques
Expérience aléatoire
k
Population et échantillon
l
Nicolas Klutchnikoff - Université Rennes 2